No, no es necesario iniciar una nueva ejecución dineraria si ya se ha despachado ejecución por despido con condena firme al pago de indemnización y salarios de tramitación. Una vez que la empresa opta por no readmitir al trabajador, de conformidad con el artículo 56 del Estatuto de los Trabajadores, la obligación de readmisión desaparece y la ejecución se convierte en dineraria, al concretarse el pago como única forma de cumplimiento.
Según los artículos 239.1 y 250 de la Ley reguladora de la Jurisdicción Social, si transcurre el plazo legal de veinte días sin que la empresa abone las cantidades fijadas en el auto de ejecución, el procedimiento puede continuar con medidas de apremio, como el embargo de bienes, sin necesidad de presentar una nueva demanda ejecutiva. Por tanto, lo procedente es solicitar la continuación de la ejecución ya iniciada, instando al juzgado a adoptar las medidas necesarias para hacer efectivo el pago.